Rabu, 27 Maret 2013

cara membuat batik sederhana

Diposting oleh Unknown di 07.08

Karya batik nusantara

Senirupa : Cara Membuat Batik Sederhana

Berikut ini saya akan sharing cara-cara membuat batik sederhana, sangat cocok untuk dipraktekkan dalam berkarya atau sebagai bahan bagi guru atau pengajar dalam memberi tugas latihan seni terapan 2 dimensi bagi siswa. berikut caranya :

Bahan dan alat

lilin, krayon, pewarna, kertas, kuas sederhana, tempat air/pewarna, dan koran bekas.

Prosedur pengerjaannya:

Membuat kuas sederhana dari kapas dengan lidi atau tusuk sate sebagai tangkainya. Kuas itu dibuat dengan cara melilitkan sejumlah kapas pada salah satu ujung lidi atau tusuk sate, besarnya kurang lebih sebesar ibu jari orang dewasa. Supaya tidak lepas, ujung lilitan kapas diikat dengan tali atau benang. Buat 3 buah kuas.
Menyiapkan pewarna. Pewarna yang dapat digunakan pada kegiatan membatik sederhana ini ada yang tergolong pada pewarna buatan dan pewarna alam. Yang termasuk pewarna buatan di antaranya: cat air, ontan/sepuhan (berbentuk serbuk), pewarna kue cair. Kunyit, daun suji, buah ganola, gambir adalah sebagian dari bahan pewarna alam.
Bila sudah ditentukan pewarna mana yang akan digunakan,buatlah larutan nya pada tempat pewarna yang sudah disediakan. Usahakan larutan pewarna tersebut tidak terlalu encer. Siapkan beberapa macam warna, hal ini akan diperlukan bila akan membuat gambar yang memiliki banyak warna atau membuat campuran warna.
Membuat gambar. Buatlah gambar dengan lilin di atas kertas yang sudah disediakan. Kertas yang digunakan diantaranya: kertas gambar, kertas hvs, stensil. Tentu saja gambar tidak akan kelihatan.
Memunculkan gambar batik. Letakkan kertas yang sudah digambari di atas kertas koran. Pulaslah kertas tersebut dengan kuas sederhana yang terlebih dahulu dicelupkan pada larutan pewarna. Pemulasan dapat hanya dengan satu warna, bisa pula beberapa warna bergantung pada pilihan. Bila pada saat menggambar menggunakan lilin penerangan yang berwarna putih, maka garis-garis gambar akan berwarna putih. Apabila dikehendaki garis-garis gambar berwarna, pada saat menggambari kertas harus menggunakan krayon berwarna.

Contoh karya batik sederhana

sumber: http://blog-senirupa.blogspot.com/2012/09/cara-membuat-batik-sederhana.html

Diposting oleh Unknown di 06.56

Cara Membuat Batik Sederhana

Karya batik nusantara

Senirupa : Cara Membuat Batik Sederhana

Bahan dan alat

lilin, krayon, pewarna, kertas, kuas sederhana, tempat air/pewarna, dan koran bekas.

Prosedur pengerjaannya:

Membuat kuas sederhana dari kapas dengan lidi atau tusuk sate sebagai tangkainya. Kuas itu dibuat dengan cara melilitkan sejumlah kapas pada salah satu ujung lidi atau tusuk sate, besarnya kurang lebih sebesar ibu jari orang dewasa. Supaya tidak lepas, ujung lilitan kapas diikat dengan tali atau benang. Buat 3 buah kuas.
Menyiapkan pewarna. Pewarna yang dapat digunakan pada kegiatan membatik sederhana ini ada yang tergolong pada pewarna buatan dan pewarna alam. Yang termasuk pewarna buatan di antaranya: cat air, ontan/sepuhan (berbentuk serbuk), pewarna kue cair. Kunyit, daun suji, buah ganola, gambir adalah sebagian dari bahan pewarna alam.
Bila sudah ditentukan pewarna mana yang akan digunakan,buatlah larutan nya pada tempat pewarna yang sudah disediakan. Usahakan larutan pewarna tersebut tidak terlalu encer. Siapkan beberapa macam warna, hal ini akan diperlukan bila akan membuat gambar yang memiliki banyak warna atau membuat campuran warna.
Membuat gambar. Buatlah gambar dengan lilin di atas kertas yang sudah disediakan. Kertas yang digunakan diantaranya: kertas gambar, kertas hvs, stensil. Tentu saja gambar tidak akan kelihatan.
Memunculkan gambar batik. Letakkan kertas yang sudah digambari di atas kertas koran. Pulaslah kertas tersebut dengan kuas sederhana yang terlebih dahulu dicelupkan pada larutan pewarna. Pemulasan dapat hanya dengan satu warna, bisa pula beberapa warna bergantung pada pilihan. Bila pada saat menggambar menggunakan lilin penerangan yang berwarna putih, maka garis-garis gambar akan berwarna putih. Apabila dikehendaki garis-garis gambar berwarna, pada saat menggambari kertas harus menggunakan krayon berwarna.

Contoh karya batik sederhana

KOMBINATORIAL

Diposting oleh Unknown di 06.46

KOMBINATORIAL
Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek – objek.
Solusi yang ingin kita peroleh dari kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek
– objek didalam kumpulanya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari
suatu percobaan (experiment) atau kejadian (event). Percobaan adalah proses fisis
yang hasilnya dapat diamati. Contoh:
1. Melempar dadu.
2. Melempar koin uang logam.
3. Memilih 5 orang wakil dari 100 orang.
KAIDAH DASAR PERHITUNGAN
1. Kaidah Dasar Penjumlahan (Rule of Sum) / ROS
Andaikan terdapat n himpunan Ai, I = 1,2,3 . . . , n. Andaikan juga cacah banyaknya
anggota himpunan Ai
adalah ni
dan Ai ∩ Aj
= ∅, maka banyaknya anggota himpuan
A1 atau A2 atau . . . atau An adalah (n1 + n2 + . . . + nn). Dengan kata lain U
n
i
Ai
=1
=
(n1 + n2 + . . . + nn)
Contoh:
Dalam Perpustakaan terdapat 10 buku Matematika, 25 buku Statistik dan 5 buku
social. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk mengambil 1 buku.
Jawab:
Banyaknya cara mengambil 1 buku Matematika ada 10 cara.
Banyaknya cara mengambil 1 buku Statistik ada 25 cara.
Banyaknya cara mengambil 1 buku Sosial ada 5 cara.
Jadi, banyaknya cara untuk mengambil 1 buku (sembarang) ada: 10 +
25 + 5 = 40 cara.
2. Kaidah Dasar Perkalian (Rule of Product) / ROP
Andaikan suatu prosedur dapat diselesaikan dengan k tahap. Tahap 1 dapat diselesaikan dengan n1 cara.
Tahap 2 dapat diselesaikan dengan n2 cara.
.
.
.
Tahap k dapat diselesaikan dengan nk cara.
Maka prosedur tersebut dapat diselesaikan dengan : n1 . n2 . . . nk cara
Contoh: Pada soal no.1
Berapa banyaknya cara untuk mengambil 3 buah buku masing – masing 1 buku
Matematika, 1 buku Statistik dan 1 buku social.
Jawab:
Prosedur untuk mengambil 3 buah buku yang berbeda dapat diselesaikan dengan 3
tahap.
Tahap 1: Mengambil 1 buku Matematika dapat dilakukan dengan 10 cara.
Tahap 2 : Mengambil 1 buku Statistik dapat dilakukan dengan 25 cara.
Tahap 3 : mengambil 1 buku Sosial dapat dilakukan dengan 5 cara.
Dengan prinsip ROP, banyaknya cara utnuk mengambil 3 buah buku yang berbeda
ada: 10.25.5 = 1250 cara.
Prinsip ROP menyatakan bahwa suatu percobaan dilakukan secara bersamaan
sedangkan ROS percobaan dilakukan tidak bersamaan.
Contoh soal:
1. Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa cara
memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak perduli pria atau wanita).
Jawab:
Ada 4 cara untuk memilih pria dan 3 cara untuk memilih satu wakil wanita, maka
banyaknya cara untuk memilih 1 orang wakil adalah 4 + 3 = 7 cara.
2. Suatu seri dari mikrokomputer terdiri dari 5 karakter masing – masing 2 huruf yang
diikuti oleh angka (huruf besar dan kecil tidak dibedakan). Berapa cara nomor seri
yang dapat dibuat.
Jawab:
Banyaknya huruf ada 26 dan banyaknya angka ada 10. Kemungkinan no seri yang
dapat dibuat ada: 26 . 26 . 10 . 10 . 10 = 676000 cara
3. Berapa banyak bilangan 4 digit yang tidak mengandung angka yang berulang
jawab:
banyaknya angka ada 10. Banyaknya bilangan 4 digit yang dapat dibentuk jika tidak
ada angka yang diulang ada: 10 . 9 . 8 . 7 = 4536
4. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 sampai 9999 yang semua digitnya
berbeda.
Jawab:
Posisi satuan : ada 5 kemungkinan
Posisi ribuan : ada 8 kemungkinan
Posisi ratusan : ada 8 kemungkinan
Posisi puluhan : ada 7 kemungkinan
Jadi, banyaknya bilangan ganjil antara 1000 – 9999 ada: 5 . 8 . 8 . 7 = 2240 buah
PRINSIP INKLUSI – EKSLUSI
Contoh:
1. Berapa banyak 8 bit string yang dimulai dari 11 atau berakhir 11
Jawab:
Misal A = Himpunan byte yang dimulai 11
   B = Himpunan byte yang diakhiri 11
   C = Himpunan byte yang dimulai dengan 11 dan diakhiri 11
Jumlah byte yang dimulai dengan 11 ada 2
6
= 64 ( 2 posisi pertama sudah diisi),
sehingga A = 64.
Jumlah byte yang diakhiri dengan 11 ada : 2
6
= 64, sehingga B = 64.
Jumlah byte yang berawal dan berakhir dengan 11 ada : 2
4
= 16, sehingga A
∩B = 16. dengan prinsip inklusi – Ekslusi maka jumlah byte yang dimulai dengan 11
atau diakhiri 11 ada:
A ∪B = A + B - A ∩B = 64 + 64 – 16 = 112 buah.
2. Seorang professor mempunyai 25 mahasiswa Kalkulus, 31 mahasiswa stastistik dan
13 mahasiswa yang mengikuti keduanya. Berapa jumlah mahasiswa professor.
Jawab:
Misal A = himpunan mahasiswa kalkulus
   B = himpunan mahasiswa Statistik A = 25, B = 31, A ∩B = 13 sehingga total mahasiswa ada:
A ∪B = A + B - A ∩B = 25 + 31 – 13 = 43
PERMUTASI
Definisi 1:
Untuk n≥0, n factorial yang ditulis dengan n! didefinisikan sebagai:
n! = n . (n-1) . (n-2) . . . 3. 2. 1
Definisi 2:
Andaikan terdapat n sembarang objek. Akan diadakan pengaturan r objek dengan 1 ≤
r ≤ n. Banyaknya permutasi ditulis dengan: nPr atau P(n,r) didefinisikan sebagaikan:
P(n,r) = n . (n-1) . ( n-2) . . . (n - (r-1)) =
!( )
!
n r
n
−
Bentuk umum: untuk n = r, P(n,n) = n!
Dalam permutasi hal yang perlu diperhatikan:
- Pengaturan
- Urutan
Contoh:
1. Perhatikan kata “KOMPUTER”, akan diatur huruf – huruf dalam kata tersebut.
a. Berapa banyak pengaturan huruf jika semua huruf pada kata tersebut digunakan.
b. Berapa banyak pengaturan jika hanya diambil 4 huruf.
Jawab:
a. n = 8, r = 8 maka P(8,8) = 8!
b. n = 8, r = 4 maka P(8,4) =
8( )!4
!8
−
= 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 cara.
2. Tiga buah ujian dilakukan dalam satu periode 6 hari. Berapa banyak pengaturan
jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan
pada hari yang sama.
Jawab:
n = 6, r = 3 maka P(6,3) =
!3
!6
6( )!3
!6
=
−
= 6.5.4 = 120 cara KOMBINASI
Andaikan terdapat n objek berbeda, akan dipilih r objek dengan 1 ≤ r ≤ n (tampa
memperhatikan urutan). Banyaknya kombinasi disajikan dengan nCr atau C(n,r)
Andaikan urutan diperhatikan, banyaknya pengaturan r objek dari n objek adalah P(n,r).
Dari r objek,urutan tidak diperhatikan, banyaknya pengaturan adalah P(r,r) = r!
Jadi,
C(n,r) =
!
( , )
r
P n r
=
!( !)
!
r n r
n
−
Contoh:
1. Sekelompok anak terdiri dari 4 anggota. Berapa cara memilih 2 anak dari 4 anak
tersebut.
Jawab:
n = 4, r = 2 maka C(4,2) =
!.2 !2
!4
4(!2 )!2
!4
=
−
= 6 cara
2. string biner panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 atau 0. berapa banyak string biner
yang tepat berisi 7 buah bit 1
Jawab:
Kasus diatas analog dengan terdapat 7 bola yang akan dimasukan ke 32 kotak.
Banyaknya string biner yang terbentuk adalah C(32,7).
3. Sekelompok anak terdiri dari 6 anak laki – laki dan 5 anak perempuan . Akan dipilih
3 orang anak dengan ketentuan 2 anak laki – laki dan 1 anak perempuan. Berapa
banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih 3 orang tersebut.
Jawab:
Terdapat 2 prosedur pemilihan:
- Pemilihan 2 anak laki – laki
- Pemilihan 1 anak perempuan
Banyaknya cara memilih 2 anak laki-laki dari 6 anak ada: C(6,2) cara.
Banyaknya cara memilih 1 anak perempuan dari 5 anak ada: C(5,1) cara.
Jadi, banyaknya cara memilih 2 anak laki – laki dan 1 anak perempuan:
C(6,2).C(5,1) = 15 . 5 = 75 cara 4. Tiga buah apartemen A, B, C disewakan ke mahasiswa. Tiap apartemen dapat
menampung 3 atau 4 orang . Berapa banyak cara menyewakan apartemen kepada
10 orang mahasiswa.
Jawab:
Ada 3 kemungkinan:
- Apartemen A untuk 4 orang, apartemen B,C untuk 3 orang.
Banyaknya cara: C(10,4). C(6,3) . C(3,3)
- Apartemen A untuk 3 orang, B untuk 4 orang dan C untuk 3 orang
Banyaknya cara: C(10,3) . C(7,4) . C(3,3)
- Apartemen A,B untuk 3 orang dan C utnuk 4 orang
Banyaknya cara : C(10,3) . C(7,3) . C(3,3)
Total seluruh cara: C(10,4). C(6,3) . C(3,3) + C(10,3) . C(7,4) . C(3,3) + C(10,3)
(C(7,3) . C(3,3 .
5. Berapa banyak cara 8 orang disusun dalam suatu lingkaran.
Jawab:
Untuk menyusun 8 orang dalam lingkaran, maka 1 orang harus tetap ditempatnya,
sedang yang lain berpindah, sehingga banyaknya cara ada: 7!
PERLUASAN PERMUTASI DAN KOMBINASI
Andaikan terdapat n objek dengan:
n1 objek pertama
n2 objek kedua
.
.
.
nk objek ke-k
dengan n = n1 + n2 + . . . + nk,maka banyaknya permutasi dari n objek tersebut adalah:
Objek pertama diatur dengan : C(n,n1) cara
Objek kedua diatur dengan : C(n-n1,n2) cara
Objek ketiga diatur dengan : C(n-n1-n2,n3) cara
.
.
.Objek ke-k diatur dengan : C(n-n1-n2-…-nk,nk)
Dengan prinsip ROP, pengaturan n objek dapat dilakukan dengan:
C(n,n1). C(n-n1,n2). C(n-n1-n2,n3) . . . C(n-n1-n2-…-nk,nk) =
! ...! .!
!
1 2 k
n n n
n
Jadi, Banyaknya permutasi dengan perulangan:
! ...! .!
!
1 2 k
n n n
n
Contoh:
1. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari kata “MISSISSIPPI”
Jawab:
Banyaknya huruf M = 1, huruf I = 4, huruf S = 4, hurup P = 2 sehingga n =
1 + 4 + 4 + 2 = 11.
Jadi jumlah string yang dapat dibentuk =
1!.4!.4!.2!
11!
= 34650 buah
2. Berapa banyak cara membagi 8 buah buku yang berbeda kepada 3 orang
mahasiswa jika masing-masing Billy mendapat 4 buku, Andy dan Toni mendapat 2
buku.
Jawab:
n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, n = 4 + 2 + 2 = 8
Banyaknya cara membagi buku =
4!.2!.2!
!8
= 420 cara.
KOMBINASI DENGAN PERULANGAN
Misal terdapat r buah bola yang warnanya sama dan n buah kotak (r > n).
(i) jika masing –masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu kotak maka
banyaknya cara memasukan bola ke dalam kotak ada C(n,r).
(ii) Jika masing – masing kotak tidak ada batasan jumlah bola, maka jumlah cara
memasukan bola tersebut ada C(n + r – 1 , r ) atau C(n + r – 1 , n – 1).
Contoh:
1. Persamaan: x1 + x2 + x3 + x4 = 12 dengan xi
bilangan bulat nonnegatif. Berapa
jumlah kemungkinan solusinya.
Jawab: Kasus diatas analog dengan 12 bola kedalam 4 kotak, maka banyaknya cara ada:
C(4 + 12 – 1, 12) = C(15,12) = 455 buah.
2. Tiga buah dadu dilempar. Berapa banyak hasil yang berbeda yang mungkin.
Jawab:
n = 3, r = 6 sehingga banyaknya hasil yang mungkin ada:
C(3 + 6 – 1 , 6) = C(8,6) = 56 buah.

Sumber: http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANIGSIH/KOMBINATORIAL.pdf

Diposting oleh Unknown di 06.33

Jumat, 01 Maret 2013

Diposting oleh Unknown di 19.59

Relasi antar himpunan

Subhimpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

$B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A$

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka $\varnothing$ juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,

$\varnothing \subseteq A$

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,

$A \subseteq A$

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

$B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A$

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

$A \supseteq B \equiv B \subseteq A$

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

$A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B$

atau

$A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A$

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah $\mathcal{P}(A)$ .
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka $\mathcal{P}(A)$ :

 { { },
   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan $A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}$ adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, $\mathcal{P}(A)$ adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut, $P = \{ \{a,\,b\}, c\}$ bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan $\{apel, jeruk, mangga, pisang\}$ adalah 4. Himpunan $\{p, q, r, s\}$ juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi $\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}$ yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan $\mathbb{N}$ , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{a}$ .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh $2n\,$ .

$A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}$

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas $\mathfrak{a}$ , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{c}$ . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas $\mathfrak{c}$ , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah $y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)$ .

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

$\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}$

Jika $A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$ maka:

$\chi_A(apel) = 1$

$\chi_A(durian) = 0$

$\chi_A(utara) = 0$

$\chi_A(pisang) = 1$

$\chi_A(singa) = 0$

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa $\mathcal{P}(S)$ dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

 Himpunan                            Representasi Biner
 ----------------------------        -------------------
                                     a b c d e f g
 S = { a, b, c, d, e, f, g }   -->   1 1 1 1 1 1 1
 A = { a,    c,    e, f    }   -->   1 0 1 0 1 1 0
 B = {    b, c, d,    f    }   -->   0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.

Operasi gabungan $A \cup B$ setara dengan A or B
Operasi irisan $A \cap B$ setara dengan A and B
Operasi komplemen $A^C$ setara dengan not A

Sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29

Tinta Winipah

About Me

Blog Archive

Followers

Rabu, 27 Maret 2013